ПОДГОТОВКА К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ

Арифметические вычисления

Арифметические действия, признаки делимости чисел, разложение на множители, действия с дробями

В этом уроке мы поговорим про порядок арифметических действий в вычислениях, признаки делимости целых чисел и действия с дробями.

Напомним важные правила, которые нужно соблюдать, проводя арифметические вычисления.

Порядок действий в арифметических вычислениях

В сложных арифметических выражениях вычисления следует выполнять по действиям. Сначала выполняются действия в скобках, начиная с самых внутренних, затем возведение в степень, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Все действия нужно выполнять в направлении слева направо.

Пример 1. Вычислить

1) 18 : (8 – 2) : 3;   

2) ;   

3) .

Решение. 1) Сначала выполним действия в скобках:  8 – 2 = 6.
Выполним первое деление, встреченное в направлении слева направо:  18 : 6 = 3.
Выполним второе деление (результат первого деления разделим на 3):  3 : 3 = 1.

2) Прежде всего нужно выполнить действия в скобках в таком порядке: возведение в степень, деление, вычитание. Иногда, чтобы не запутаться в вычислениях, удобно расставить порядковые номера над каждым знаком операции:

Выполняем вычисления по действиям:

1. 2² = 4. Подставим результат в выражение:
   
2. 20 : 4 = 5. Подставим результат в выражение:
3. 9 – 5 = 4. Подставим результат в выражение:
   
   
4. 10 – 4 = 6.

3) Знак дроби означает деление. При этом числитель и знаменатель дроби считают заключенными в скобки. Так, дробь соответствует выражению (12 – 2) : (2 + 3). Сначала выполним вычитание и сложение в скобках: 12 – 2 = 10, 2 + 3 = 5. Теперь разделим первый результат на второй: 10 : 5 = 2.

Ответы: 1) 1;   2) 6;   3) 2.

Признаки делимости и разложение на множители

При арифметических вычислениях часто применяют признаки делимости целых чисел.

1. Число делится на 2, если оно заканчивается на одну из цифр: "0", "2", "4", "6", "8". Такое число называется четным. Например, 100 = 2 · 50.
2. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, 117 делится на 3, так как 1 + 1 + 7 = 9 делится на 3.
3. Число делится на 5, если оно заканчивается на "0" или на "5".
4. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например: 1233 = 9 · 137.
5. Число делится на 10, если оно заканчивается на "0".
6. Число делится на 25, если оно заканчивается на "00", "25", "50" или "75".

Покажем на примерах, как признаки делимости используются для разложекния на простые множители.

Пример 2. Разложить на множители

1) 216; 2) 100.

Решение. 1) 216 делится на 9, так как сумма цифр 2 + 1 + 6 = 9 делится на 9. Так что 216 = 9 · 24. Дальше используем таблицу умножения:

216 = 9 · 24 = ( 3 · 3) · (3 · 8) = 3 · 3 · 3 · (2 · 4) = 3 · 3 · 3 · 2 · 2 · 2 = 2³ · 3³.

2) 100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 = 2² · 5².

Арифметические действия с дробями

В задачах на вычисления встречаются несколько видов дробей:

1. Обыкновенные дроби. Это дроби вида , например: , .

2. Смешанные дроби. Это дроби вида , например: . Не следует путать произведение и смешанную дробь .

Смешанную дробь можно перевести в обыкновенную по правилу , например: .

3. Десятичные дроби. Это дроби, содержащие десятичную запятую, например: 1,25.

Десятичную дробь также можно перевести в обыкновенную, например: .

В большинстве вычислений, удобно переводить все дроби в обыкновенные и затем проводить с ними действия. Ниже собраны полезные правила вычислений с обыкновенными дробями.

Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби делятся на одно и то же число, ее можно сократить, например: .

Для сокращения дробей иногда приходится раскладывать числитель и знаменатель на простые множители, например: .

Наоборот, если умножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, то получится равная дробь.

Для того, чтобы сложить (вычесть) две дроби нужно привести их к одному и тому же знаменателю, затем сложить (вычесть) их числители. Покажем на примере, как это делается.

Пример 3. Вычислить

1) ;   2) .

Решение. 1) Для приведения к общему знаменателю, умножим числитель и знаменатель первой дроби на 3, а второй на 2:

.

2) Здесь, как и в предыдущем примере, можно домножить числитель и знаменатель первой дроби на 32, а второй дроби на 80, но тогда получатся слишком большие числа и вычисления станут сложнее. Вместо этого, мы найдем нименьшее общее кратное чисел 32 и 80, то есть самое маленькое число, делящееся одновременно на 32 и 80.

Разложим 32 и 80 на простые множители:

32 = 2⁵;
80 = 16 · 5 = 2⁴ · 5.

Мы желаем узнать, на какие наименьшие числа нужно умножить 32 и 80, чтобы получить одно и то же число? Сравним разложения: в разложение числа 32 множитель 2 входит в степени 5, а в разложение числа 80 в степени 4, значит 80 нужно домножить на 2. Но в разложении числа 80 есть простое число 5, а в разложении 32 нет, значит 32 нужно домножить на 5. Получим:

.

Ответы: 1) ; 2) .

Для того, чтобы перемножить две обыкновенные дроби, нужно отдельно перемножить их числители и знаменатели. Покажем на примерах, как это делается.

Пример 4. Вычислить

1) ;    2) ;   3) ;   4) .

Решение. 1) .

2) Прежде чем перемножить дроби их желательно сократить. В произведении дробей можно сокращать "крест-накрест", то есть числитель первой со знаменателем второй и, наоборот, знаменатель первой с числителем второй.

.

3) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно целое число представить как дробь:

.

4) Переведем десятичную и смешаную дроби в обыкновенные:

;

.

Перемножим полученные дроби:

.

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 2.

Для того, чтобы разделить две обыкновенные дроби, нужно умножить первую дробь на обратную ко второй (на перевернутую вторую). Покажем на примерах, как это делается.

Пример 5. Вычислить

1) ;   2) .

Решение. 1) .

2) Переведем смешанную и десятичную дроби в обыкновенные

;

.

Разделим полученные дроби:

.

Ответы: 1) ;  2) 18.

Пример 6. Вычислить

Решение. Будем выполнять вычисления по действиям. Расставим над каждым знаком операции порядковый номер, как показано на рисунке ниже:

1. 5 : 6,25 = 5 : = 5 : = 5 = = .
   
   
2. Прибавим к 1,7 результат вычислений действия 1:
   
   1,7 + = + = + = = = .
   
   
3. Умножим результат действия 2 на 7:
   
   · 7 = · = .
   
   
4. 0,0125 · 8 = · = = = .
   
   
5. Прибавим 6,9 к результату действия 4: + 6,9 = + = = 7.
   
   
6. Чтобы найти значение дроби, нужно результат последнего действия в числителе разделить на результат последнего действия в знаменателе:
   
   : 7 = : = · = .
   
   
7. Вычтем из 6 результат дейсвтия №6:
   
   6 – = – = – = – = = .
   
   
8. Разделим результат последнего действия в больших скобках на : 
   : = · = = 3.
   
   
9. 12,5 · 0,64 = = = 8.
   
   
10. Выполним сложение результатов действий №8 и №9: 3 + 8 = 11.

Контрольные задания

Выполните задания, приведенные ниже, запишите ответы и нажмите на кнопку "Проверить".

1. Вычислить   .

2. Вычислить    .